Chaos ve sluneční soustavě
Jiří Grygar
"Bůh nehraje v kostky."
A. Einstein M, Bornovi v r. 1948
"Nejenže Bůh hraje v kostky, ale vrhá je občas na místech, kde
je nelze vidět."
S. W. Hawking v r. 1977
1. Řád ve sluneční soustavě
Formulace Newtonova gravitačního zákona umožnila matematicky vyjádřit
přesné analytické řešení problému dvou těles obíhajících ve vakuu kolem
společného těžiště. Přitom ovšem musíme předpokládat, že rozměry těles
lze vůči vzájemné vzdálenosti zanedbat - jinak se projeví slapové síly
a popřípadě vliv nerovnoměrného rozložení hmoty tělesa uvnitř objektu,
který navíc nemusí být kulově souměrný. Z toho důvodu není například nijak
jednoduché počítat přesné dráhy těsných dvojhvězd, které jsou vzájemným
slapovým působením silně deformovány a které se obvykle ovlivňují také
zářením a vysíláním elektricky nabitých částic hvězdného větru.
V porovnání s tím je sluneční soustava příkladem jednoduchosti a
pořádku. Vzdálenosti planet od Slunce jsou tak velké, že jak samotné planety
tak i plynné Slunce lze dobře nahradit matematickými body, v nichž je hmota
těles soustředěna. Meziplanetární prostor je tak řídký, že při pohybu těles
nepředstavuje žádnou měřitelnou překážku a rovněž sluneční záření ani korpuskulární
částice (sluneční vítr) nemohou planety vyšinout z jejich drah. Není divu,
že koncem 18. stol. se proslulému francouzskému matematikovi, fyzikovi
a astronomovi P. S. Laplaceovi zdálo, že je jen technickou otázkou přesně
spočítat polohy planet pro kterýkoli okamžik v minulosti i budoucnosti
vesmíru. V té době se ještě nic nevědělo o vzdálenosti hvězd a existenci
hvězdných soustav typu galaxií, avšak bylo zřejmé, že hvězdy jsou natolik
vzdáleny, že pro pohyb těles sluneční soustavy není třeba jejich gravitační
působení brát v úvahu. Laplace si zkrátka myslel, že když mu někdo zadá
počáteční podmínky, pak z formulace gravitačního zákona lze planetární
soustavu doslova vypočítat s přesností omezenou jen technickými schopnostmi
počtáře.
Další vývoj fyziky však Laplaceův názor nijak nepodpořil. Na přelomu
20. století ukázal velký francouzský teoretik H. Poincaré, že už přibrání
třetího tělesa do gravitační hryˇ vylučuje přesné analytické řešení; tím
spíše tedy nelze exaktně vyřešit mnohem komplexnější problém devíti těles
(Pluto tehdy ještě nebyl objeven) sluneční soustavy. Relativní úspěch nebeské
mechaniky, která se dráhovými výpočty prakticky zabývala, byl dán tou šťastnou
okolností, že hmotnosti planet jsou vůči Slunci prakticky zanedbatelné
(nejhmotnější Jupiter činí pouze 0,1 % hmotnosti Slunce a úhrnná hmotnost
ostatních planet nedosahuje ani poloviny hmotnosti Jupiteru), takže problém
dynamiky sluneční soustavy se dal zjednodušit zavedením výpočtu poruch
základní dráhy každé planety. To znamená, že základní dráha se řeší jako
problém dvou těles (Slunce-planeta) analyticky přesně a působení ostatních
planet se bere jako přídavná rušivá síla, jež pouze málo ovlivňuje tuto
základní dráhu. Poruchový počet dosáhl svého největšího věhlasu, když za
jeho pomoci vypočetli v r. 1845 Angličan J. C. Adams a Francouz U. J. Leverrier
polohu nové planety, jež byla v r. 1846 vskutku objevena J. G. Gallem v
Berlíně a nakonec pojmenována Neptun.
Zavedení mechanických a později elektromechanických kalkulátorů značně
rozšířilo možnosti poruchového počtu, a tak se ukázalo, že zejména ve sluneční
soustavě lze Poincarův zákaz obejít numerickými výpočty, jejichž přesnost
lze libovolně "nastavit". To prakticky znamenalo novýˇ návrat k Laplaceovu
ideálu - návrat významně usnadněný, když se v polovině našeho století objevily
první použitelné elektronické počítače s vyššími operačními rychlostmi
a rozsáhlejšími pamětmi. Postupem doby se tak dařilo s vysokou přesností
počítat polohy planet do minulosti i do budoucnosti. Takové výpočty ovšem
mají řadu zajímavých aplikací (a to zcela pomíjím astrologii!!) Lze tak
zejména spolehlivě ověřovat datování historických pramenů pomocí úkazů,
jako je zatmění Slunce či Měsíce nebo konjunkce (těsná zdánlivá přiblížení)
planet.
V téže době se také poprvé podařilo spolehlivě odhadnout stáří sluneční
soustavy na 4,5 miliardy let. Fakt, že tu planety stále jsou, byl další
nepřímý důkaz neobyčejné stability a řádu ve sluneční soustavě, a tak jen
málokdo tušil, že to budou právě stále se zdokonalující počítače, jež nás
od Laplaceova ideálu znovu - a to definitivně - odvedou.
2. První náznaky nepořádku
Nepřímým důkazem, že se planetární soustava vůbec nepodobá Laplaceovu
ideálu, se staly postupně stále přesnější údaje o drahách a rotačních osách
planet. Vždyť dráhy planet se zřetelně liší výstředností a sklonem k základní
rovině ekliptiky (to je rovina oběžné dráhy Země kolem Slunce). Zatímco
dráhy planet Venuše a Neptunu se jen nepatrně liší od kružnice (jejich
výstřednost e je menší než 0,009), má dráha Merkuru výstřednost
e = 0,21 a dráha Pluta dokonce e = 0,25. Poslední zmíněné
planety mají také největší sklony drah k ekliptice (7°, resp. 17°). S výjimkou
Merkuru, Venuše a Jupiteru jsou rotační osy všech planet poměrně výrazně
skloněny k oběžné rovině. Většinou jde o sklony v rozmezí 23° až 29°, ale
u Uranu a Pluta dosahují 82°, resp. 98°, což značí že tato tělesa se v
oběžné rovině "kutálí naležato". Rotační periody většiny planet se pohybují
v rozmezí od 10 hodin pro obří planety Jupiter a Saturn do necelých 25
hodin pro Mars. Výjimku tvoří planety na začátku a na konci posloupnosti.
Pluto se otočí kolem osy teprve za 6,4 dne, Merkur za 59 dnů, kdežto Venuše
až za 243 dnů - ta se navíc točí proti směru oběhu planet kolem Slunce.
Zarážející jsou také rozdíly ve výskytu průvodců - přirozených družic
planet. Merkur a Venuše nemají žádné družice, Mars má dvojici miniaturních
družic nepravidelného tvaru s poloměrem kolem 10 km. Země a Pluto mají
po jediné družici, ale relativně rozměrné a hmotné. Hmotnost Měsíce činí
1180 hmotnosti Země, kdežto hmotnost Charonu dokonce 1/10 hmotnosti Pluta.
Planety uprostřed posloupnosti od Jupiteru po Neptun se vyznačují početnějšími
rodinami družic rozličných hmotností a rozměrů. Největší z těchto družic
dosahují velikostí (nikoli však hmotností) rozměrů Merkuru. Planety bohatě
obdařené přirozenými družicemi se navíc honosí soustavami prstenců -tenkých
soustředných vrstev kosmického smetí - úlomků o rozměrech od zlomků milimetru
do několika desítek metrů.
Jistě bychom si přáli, aby jakákoli nadějná domněnka o původu tak
prazvláštní soustavy byla s to vysvětlit zmíněné anomálie. Zkušenost však
ukazuje, že to vůbec není jednoduché - majestátní harmonie sfér, kterou
ve sluneční soustavě hledal Jan Kepler, je narušena skřípajícími fakty
neladu a neskladu opravdu na každém kroku napříč planetárním systémem.
Dalším klasickým důkazem nepořádku ve sluneční soustavě se stalo
studium rozložení drah drobnějších těles v prostoru mezi Marsem a Jupiterem.
Tato tělesa o rozměrech nanejvýše stovky kilometrů nazýváme planetky; první
byla objevena v r. 1801 a dnes je jich katalogizováno na 4500. Dráhy planetek
se zřetelně "vyhýbají" určitým vzdálenostem od Slunce. V soustavě oběžných
drah planetek se tak vyskytují nápadné mezery, nazvané na počest objevitele
mezerami Kirkwoodovými.*) Dynamický rozbor ukázal,
že za tyto mezery je odpovědný Jupiter, jenž doslova "vymetá" z dráhy takové
planetky, jejichž oběžné doby jsou souměřitelné s oběžnou dobou Jupiteru
v poměru malých celých čísel. V tom případě totiž dochází k rezonancím,
které jsou základem pro vznik mezer. Největší taková mezera odpovídá souměřitelnosti
oběžných dob 3 : 1; to znamená, že prakticky neexistují planetky ve vzdálenosti
2,5 násobku vzdálenosti Země - Slunce (AU).
Podobná rezonance naopak zabraňuje, aby se někdy srazily Neptun s
Plutem, přestože jejich dráhy se protínají (právě v současnosti, od r.
1979 do r. 1999, je Pluto ke Slunci blíže než Neptun). Mechanismus pohybu
těles ve sluneční soustavě je zkrátka tak "zašmodrchaný", že vytvořit jeho
názorný trvale fungující model přesahuje nejen možnosti přesného strojírenství,
ale i schopnosti výpočetní techniky.
3. Současné doklady o nepořádku
Nezávisle na problémech astronomie sluneční soustavy se s obdobnými
projevy pořádného nepořádku (nebo nepořádného pořádku?) setkávali také
pracovníci jiných oborů přírodních věd. Snad nejzřetelněji se to projevilo
v meteorologii při snahách o zdokonalování předpovědi počasí. Na rozdíl
od dynamiky planetární soustavy je zde nesmírné množství vstupních parametrů
(údaje o okamžitém stavu počasí po celé zeměkouli) a podstatně komplikovanější
fyzika. Poměrně malá úspěšnost předpovědí počasí se před takovými třiceti
lety zdůvodňovala nedostatečnou znalostí počátečních podmínek. Údaje o
stavu počasí byly získávány téměř výhradně z pozemních a námořních stanic,
naprosto nerovnoměrně rozprostřených po celé Zemi. Proto se vkládala velká
naděje do družicových měření, jež pokrývají rovnoměrně celou Zemi, umožňují
i vertikální sondáž atmosféry a dají se neustále aktualizovat. Souběžně
s rozvojem družicové meteorologie se podstatně zvýšil výkon moderních superpočítačů,
takže zdánlivě nic nestálo v cestě tomu, aby se předpovědi počasí nápadně
zlepšily.
Je pravda, že ke zlepšení vskutku došlo, ale zdaleka ne v míře očekávané
odborníky. O vysvětlení neúspěchu se již v r. 1963 zasloužil E. Lorenz,
který právě na tomto problému demonstroval zásady koncepce chaosu. Ve svých
počítačových simulacích vývoje počasí totiž opakoval výpočet předpovědi
počasí za nepatrně změněných počátečních podmínek. Očekával, že dostane
výsledné počasí jen málo odlišné od předpovědi původní. Výsledky simulací
však nic takového nepotvrdily. Ukázalo se, že zcela nepatrné změny počátečních
podmínek vedou k drasticky odlišnému počasí. Podle slov jednoho meteorologa
"mávnutí křídel motýla v Hong-Kongu zřetelně ovlivní, jaké bude o měsíc
později počasí v Londýně". Matematik hovoří o silně nelineárních systémech
a fyzik (popřípadě astronom) je blízek zoufalství. V takto chaotickém světě
se přece nedá předpovědět vůbec nic, a k čemu je pak veškerá fyzika?
Lorenz a celá řada dalších odborníků postupně ukázala, že tento fyzikální
chaos v sobě skrývá hlubší řád, jehož odhalení povede k dalšímu rozvoji
přírodních věd. Také astronomové vděčně sáhli po východisku, které umožnilo
nově posoudit již naznačené a také některé předtím netušené problémy astronomie
sluneční soustavy.
První aplikací teorie chaosu v astronomii se stala studie amerického
astronoma J. Wisdoma [1] z r. 1983, jenž se zabýval zmíněnou hlavní Kirkwoodovou
mezerou v drahách planetek z hlediska přenosu materiálu z mezery do blízkosti
Země.**) Planetka která se vlivem poruch ocitne
v mezeře, se totiž nejpozději za 200 000 let stane obětí chaosu, a je z
mezery vymetena na zcela odchylnou dráhu, která jí s pravděpodobnosti 1
: 5 přivede do takové blízkosti Země, že se dříve či později se Zemí srazí.
Tak lze vysvětlit, proč na Zemi čas od času dopadají meteority, ačkoli
se Země nachází velmi daleko od hlavního pásma planetek. Jinými slovy,
nebýt chaosu v drahách planetek, neměli bychom na Zemi tolik dokladů o
existenci drobného smetí v meziplanetárním prostoru v podobě meteoritů.
O rok později objevil týž J. Wisdom další doklad chaosu ve sluneční
soustavě, tentokrát při zkoumání snímků Saturnovy přirozené družice Hyperion,
pořízených kosmickou sondou Voyager 2 v r. 1981. Hyperion je obří balvan
velmi nepravidelného tvaru o rozměrech přibližně 350 x 240 x 200 km. Wisdomovi
se na posloupnosti snímků nepodařilo určit polohu rotační osy Hyperionu
ani délku jeho rotační periody [2] Proto vyslovil domněnku, že Hyperion
nic takového nemá; na své oběžné dráze kolem Saturnu se prostě chaoticky
převaluje, přičemž oběžná doba Hyperionu činí 21,3 dne. Wisdomův výsledek
byl neuvěřitelný - všechny do té doby studované přirozené družice planet
měly definovanou rotační osu a stejně jednoznačně určenou dobu rotace.
Velmi často jde o rotaci vázanou jako například u našeho Měsíce, který
se kolem své osy otočí za stejnou dobu, za kterou oběhne jednou kolem Země.
Wisdom ukázal, že existuje rezonance oběžných dob Hyperionu a největšího
Saturnova průvodce Titanu, která podporuje chaotickou rotaci (převalování)
Hyperionu. Druhou příčinou chaosu je silně nepravidelný tvar Hyperionu,
za nějž rovněž může Titan. Podle všeho byl totiž kdysi v minulosti sluneční
soustavy Hyperion rozbit srážkou s jinou Saturnovou družicí nebo zachycenou
planetkou. Dynamika srážek naznačuje, že relativně rychle, tj. během miliónu
let, se taková rozpadlá družice na původní dráze opět poskládá do původního
tvaru. V tomto zvláštním případě však gravitace Titanu vyvolala chaotické
změny drah úlomků původního Hyperionu a ty se z dosahu Saturnovy gravitace
vzdálily. Přirozeně tak chyběly při zpětném poskládáni Hyperionu v jednolité
těleso. Wisdomovu domněnku potvrdil v r. 1989 jeho student J. Klavetter
[3], jenž po dlouhou dobu měřil soustavně změny jasnosti Hyperionu, a nenašel
v nich žádnou periodicitu (vyvolanou rotací) v intervalu od 1 hodiny do
7 týdnů.
4. Není chaosu bez trpělivosti
Mezitím se zlepšily technické podmínky pro rozbor hlavního problému
dynamiky planetární soustavy, totiž pro řešení otázky, jak dalece jsou
stabilní dráhy planet ve sluneční soustavě ([4], [5]). Víme, že přesné
analytické řešení neexistuje, čili že se musíme spokojit s numerickými
výpočty, jejichž přesnost je omezena zejména kumulací zaokrouhlovacích
chyb v běžných počítačích. Tyto chyby narůstají tak rychle, že ještě v
r. 1965 nebylo možné spolehlivě počítat dráhy planet na dobu delší než
120 000 let, a to za předpokladu platnosti Newtonova gravitačního zákona.
Přesné relativistické výpočty jsou ještě mnohem obtížnější a až dosud nejsou
s to překlenout období delší než 4400 let. - Nástup výkonných počítačů
3. a 4. generace dovolil protáhnout tyto dynamické výpočty na podstatně
delší období, jak dokládá graf na obr. 1. V grafu je patrný dramatický
skok v délce intervalu kolem r. 1985. To bezprostředně souvisí s konstrukcí
speciálního superpočítače pracovníky MIT v USA, jenž přes nevelké rozměry
dosahuje 1/3 operační rychlosti známých superpočítačů firmy Cray [6] Dostal
název digitální planetostroj podle mechanických
modelů sluneční soustavy, oblíbených před 2-3 stoletími.
Digitální planetostroj řeší problém mnoha těles fantasticky rychle
a dostatečně přesně, takže hned po jeho uvedení do chodu bylo možné spočítat
dráhy planet na dobu 200 miliónů let [7] Mnoho lidí se tehdy domnívalo,
že je to trochu luxus, že se jen potvrdí to, co bylo známo z výpočtů na
pomalejších počítačích. Zdálo se, že když je planetární soustava stabilní
po dobu až 5 miliónů let, je tím zaručena její stabilita i po celou dobu
její existence. Nicméně už tyto výpočty ukázaly na přítomnost rezonance
3 : 2 oběžných dob Pluta a Neptunu, což - jak se nakonec ukázalo - bylo
předzvěstí dynamického chaosu v drahách planet vůbec. Digitální planetostroj
to vskutku nejprve potvrdil právě pro Pluto. Ukázalo se, že sklon dráhy
Pluta k ekliptice kolísá mezi 14,6° a 16,9° s periodou 34 miliónů let [8].
Obr. 1. Vývoj numerických výpočtů pohybu planet ve sluneční soustavě
v závislosti na letopočtu. Na svislé ose je udán nejdelší interval t, překlenutý
výpočetní technikou daného období.šipka DP udává zahájení provozu digitálního
planetostroje.
To povzbudilo autory výpočtu k prodloužení intervalu na dosud rekordních
845 miliónů let (viz obr. 2). Je těžké učinit si představu o rozsáhlosti
projektu, kde integrační krok činil pouze 32,7 dne, takže k překlenutí
intervalu bylo potřebí l010 kroků. Digitální planetostroj to
zvládl za 5 měsíců nepřetržitého provozu! K ověření přesnosti výpočtu se
totiž počítají polohy planet "dopředu" a pak zase "zpět" za celé období.
Souhlas. původních a konečných poloh je důkazem dostatečné přesnosti výpočtu
[9] Tak například chyba v určení ekliptikální délky Jupiteru za celých
845 miliónů let činí jen 5°.
V poslední době zejména J. Laskar ([10], [11]) rozšířil výpočty stability
na všechny planety sluneční soustavy a zjistil, že chaotické změny dráhových
parametrů se vyskytují u Pluta na stupnici 20 miliónů let a u vnitřních
planet (od Merkuru po Mars) již na stupnici 5 miliónů let. Tento chaos
však musíme chápat tak, že vnitřní planety nemění podstatně tvar a poloosy
drah (tj. excentricitu a oběžnou dobu), nýbrž spíše se mění vzájemná orientace
drah v prostoru (např. délka perihelu, resp. uzlové přímky ve dráze, nebo
sklon dráhy) - čili už po této době nelze jednoznačně říci, zda v daném
okamžiku se bude například Venuše pro pozemského pozorovatele jevit na
východ nebo na západ od Slunce.
Chaos v minulosti sluneční soustavy hrál tedy mnohem významnější
roli, než jsme si mysleli ještě před pouhými pěti lety ([12], [13], [14],
[15]). Umožňuje planetkám, aby prchaly z původních drah mezi Marsem a Jupiterem
jak směrem ke Slunci, tak zejména směrem ven, a tím natrvalo opustily sluneční
soustavu (viz obr. 3 a 4). Dovoluje družicím planet, aby se náhodně převalovaly
na oběžných drahách dříve, než se usadí na synchronní dráze s vázanou rotací.
Zdá se, že právě tak se v minulosti chovaly Marsovy družice Phobos a Deimos.
Jestliže na časové stupnici tisíců až statisíců let šlape sluneční
soustava téměř jako hodinky, na časové stupnici řádu 107 let
dochází ke zlomu - jednoduchý řád je vystřídán chaosem, jehož zákonitosti
lze odhalit teprve nejvýkonnějšími superpočítači nové generace. Albertovi
Einsteinovi se zásadně nelíbila neurčitost kvantové mechaniky a stěží by
ho uspokojilo Hawkingovo zjištění, že kvantové neurčitosti se mohou odehrávat
také kdesi po horizonty černých děr, nepřístupny jakémukoli pozorování.
Co by asi Einstein říkal dnes, kdy nás superpočítače přesvědčily, že ani
klasická fyzika nedává kloudné předpovědi, pokud má někdo vskutku božskou
trpělivost čekat na výsledek 10 miliónů let?
Obr. 2. Změny sklonu i (v radiánech) dráhy Pluta k ekliptice v závislosti
na čase t ukazují na přítomnost periodických oscilací s periodami 34, 150
a 600 miliónů let. Graf je dokladem chaotických vlastností oběžné dráhy
Pluta (podle [8]).
Obr. 3. Změny délky velké poloosy a v jednotkách vzdálenosti Země-Slunce
(1 AU) v závislosti na čase t pro planetku, která na počátku období obíhá
kolem Slunce po kruhové dráze s poloměrem 3,8 AU. Chaotický charakter dráhy
se projeví až po 1 miliardě let a vede nakonec k vymetení planetky ze sluneční
soustavy (poloměr dráhy Jupiteru je 5,2 AU) - podle [15].
Obr. 4. Pouhých 50 miliónů let stačí, aby se projevily chaotické
vlastnosti dráhy hypotetického malého tělesa, které se původně nachází
v prostoru mezi Uranem a Neptunem na kruhové dráze o poloměru 25 AU. Na
vodorovné ose je uveden čas t, uplynulý od počátku sledovaného období a
na svislé ose délka velké poloosy a dráhy tělesa v astronomických jednotkách
(AU) (podle [15]).
*) DANIEL. KIRKWOOD (1814-1889), profesor
na univerzitě v Bloomingtonu (Indiana), popsal mezeru ve vzdálenostech
planetek roku 1867 a problém opakovaně diskutoval v řadě pojednání, zejména
pak roku 1875 v Mont. Not. Royat Soc. sv. 35 a v Astron. Nachrichten. Avšak
v roce 1858 publikoval KAREL HORNSTEIN (1824-1882), brněnský rodák, pozdější
profesor astronomie v Praze a ředitel hvězdárny v Klementinu, rozsáhlou
přednášku o systému planetek (Neueste Fortschr. d. Astronomie, Wien 1858),
kde možnost existence mezer ve vzdálenostech těchto těles je naznačena.
Nezávislý objev Kirkwoodových mezer Hornsteinovi připisuje například jeho
žák G. GRUSS
**) V posledních letech se u nás tímto problémem
zabýval dr. Miloš Šidlichovský, DrSc., z Astronomického ústavu ČSAV, který
publikoval řadu významných studií o "mapování" drah s komensurabilitou
(souměřitelností period) 5 : 2. Význam Šidlichovského prací tkví v tom,
že kvazianalytické řešeni umožňuje zrychlit numerický výpočet až o tři
řády.
Literatura
[1] Wisdom, J.: Icarus 56 (1983), 51.
[2] Murray, C. D.: Nature 311 (1984), 705.
[3]Klavetter, J. J.: Astron. J. 97 (1989), 570.
[4j Milani, A., Nobili, A.: Mem. Soc. Astron. Ital. 55 (1984), 485.
[5] Wisdom, J.: Bull. Amer. Astron. Soc. 19 (1987), No. 4, 1106.
-
[6] Applegate, J. H., et al.: IEEE Trans. Comput. C-34 (1985), 822.
[7] Applegate, J. H., et al.: Astron. J. 92 (1986), 176.
[8] Sussman, G. J., Wisdom, J.: Science 241 (1988), 433.
[9] Milani, A., Nobili, A. M., Csrpino, M.: Icarus 82 (1989), 200.
[10] Laskar, J.: Astron. Astrophys. 198 (1988), 341.
[11] Laskar, J.: Nature 338 (1989), 237.
[12] Kerr, R. A.: Science 244 (1989), 144.
[13] Kilian, A. M.: Sky and Telescope, August (1989), 136.
[14] Nobili, A. M., Burns, J. A., Science 244 (1989), 1425.
[15] Hartley, K.: Astronomy, May (1990), 34.